La logique floue (fuzzy logic) – Exemple en C# avec Aforge.Fuzzy

Logique floue

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La logique floue est une extension de la logique booléenne créée par Lotfi Zadeh en en se basant sur sa théorie mathématique des ensembles flous, qui est une généralisation de la théorie des ensembles classiques. Abstract. Un système flou est basé sur un ensemble de variables associées par une logique floue. Un contrôleur flou utilise des règles floues pour contrôler la sortie du système selon les valeurs courantes des entrées.

Base de connaissance

Afin d'exemplifier chacune des définitions, nous allons concevoir au fil de ce cours d'introduction à la logique floue un système d'inférence flou concret dont l'objectif est de décider du pourboire à donner à la fin d'un repas au restaurant en fonction de la qualité du service ainsi que de la qualité de la nourriture.

La logique floue repose sur la théorie des ensembles flous, qui est une généralisation de la théorie des ensembles classiques. Par abus de langage, suivant les us de la littérature, nous utiliserons indifféremment les termes sous-ensembles flous et ensembles flous.

Les ensembles classiques sont également appelés ensembles nets, par opposition à flou, et de même la logique classique est également appelée logique booléenne ou binaire. Voici une figure montrant la fonction d'appartenance choisie pour caractériser le sous-ensemble 'bon' de la qualité du service:. Soit X un ensemble. Dans notre exemple du pourboire, il nous faudra redéfinir des fonctions d'appartenance pour chaque sous-ensemble flou de chacune de nos trois variables:.

La forme de la fonction d'appartenance est choisie arbitrairement en suivant les conseils de l'expert ou en faisant des études statistiques: Cette figure montre graphiquement la différence entre un ensemble classique et l'ensemble flou correspondant à une nourriture délicieuse: Cette figure compare les deux fonctions d'appartenance correspondant aux ensembles précédents: Pour pouvoir définir les caractéristiques des ensembles flous, nous redéfinissons et étendons les caractéristiques usuelles des ensembles classiques.

La hauteur de A, notée kitxmlcodeinlinelatexdvph A finkitxmlcodeinlinelatexdvp, correspond à la borne supérieure de l'ensemble d'arrivée de sa fonction d'appartenance: En pratique, il est extrêmement rare de travailler sur des ensembles flous non normalisés. Le support de A est l'ensemble des éléments de X appartenant au moins un peu à A. Le noyau de A est l'ensemble des éléments de X appartenant totalement à A.

Voici une autre fonction d'appartenance pour un pourboire moyen sur lequel nous avons fait figurer les propriétés précédentes: Nos définitions permettent donc bien de retrouver les propriétés usuelles des ensembles classiques. Nous ne parlerons pas de la cardinalité car nous n'utiliserons pas cette notion dans la suite de ce cours.

Le concept de fonction d'appartenance vu précédemment nous permettra de définir des systèmes flous en langage naturel, la fonction d'appartenance faisant le lien entre logique floue et variable linguistique que nous allons définir à présent.

Soit V une variable qualité du service, montant du pourboire, etc. Afin de pouvoir manipuler aisément les ensembles flous, nous redéfinissons les opérateurs de la théorie des ensembles classiques afin de les adapter aux fonctions d'appartenance propres à la logique floue permettant des valeurs strictement entre 0 et 1. Contrairement aux définitions des propriétés des ensembles flous qui sont toujours les mêmes, la définition des opérateurs sur les ensembles flous est choisie, à l'instar des fonctions d'appartenance.

Avec les définitions usuelles des opérateurs flous, nous retrouvons toujours les propriétés de commutativité, distributivité et associativité des opérateurs classiques. Cependant, relevons deux exceptions notables:.

En logique classique, les raisonnements sont de la forme: En logique floue, le raisonnement flou, également appelé raisonnement approximatif, se base sur des règles floues qui sont exprimées en langage naturel en utilisant les variables linguistiques dont nous avons donné la définition précédemment.

Une règle floue aura cette forme: Voici un exemple de règle: La variable 'pourboire' appartient à l'ensemble flou 'élevé' à un degré qui dépend du degré de validité de la prémisse, autrement dit du degré d'appartenance de la variable 'qualité de la nourriture' à l'ensemble flou 'délicieux'.

L'idée sous-jacente est que plus les propositions en prémisse sont vérifiées, plus l'action préconisée pour les sorties doit être respectée. Pour connaître le degré de vérité de la proposition floue 'le pourboire sera élevé', nous devons définir l'implication floue.

À l'instar des autres opérateurs flous, il n'existe pas de définition unique de l'implication floue: Voici les deux définitions de l'implication floue les plus couramment utilisées:.

Fait notable, ces deux implications ne généralisent pas l'implication classique. Il existe d'autres définitions d'implication floue la généralisant, mais elles sont moins utilisées. Si nous choisissons l'implication de Mamdani, voici ce que nous obtenons pour la règle floue 'Si la qualité de la nourriture est délicieuse , alors le pourboire sera élevé ' lorsque la qualité de la nourriture est notée 8,31 sur Comme nous avons défini les opérateurs flous ET, OU et NON, la prémisse d'une règle floue peut très bien être formée d'une conjonction de propositions floues.

L'ensemble des règles d'un système flou est appelé la matrice des décisions. Voici celui de notre exemple du pourboire:. Nous allons maintenant appliquer l'ensemble des 3 règles de notre matrice des décisions. Cependant, nous allons obtenir 3 ensembles flous pour le pourboire: Cette figure montre cette agrégation: Comme nous le voyons, il ne nous reste plus qu'à prendre la décision finale, à savoir quel pourboire nous allons réellement donner sachant que la qualité du service est notée 7,83 sur 10 et la qualité de la nourriture 7,32 sur Cette étape finale, qui permet de passer de l'ensemble flou issu de l'agrégation des conclusions à une décision unique, s'appelle la défuzzification.

Comme pour tous les opérateurs flous, le concepteur du système flou doit choisir parmi plusieurs définitions possibles de défuzzification. Nous allons présenter brièvement les deux principales méthodes de défuzzification: La défuzzification MM définit la sortie décision du montant du pourboire comme étant la moyenne des abscisses des maxima de l'ensemble flou issu de l'agrégation des conclusions.

La défuzzification COG est plus couramment utilisée. Les familles paramétriques d'opérateurs flous permettront à un même moteur d'inférence d'incarner des logiques plus ou moins strictes.

Une même application pourra ainsi faire appel à des implémentations différentes judicieusement choisies selon le contexte. L'exemple ci-dessous montre à travers 3 modes de résolution l'influence du choix des opérateurs, au-delà d'une approche naïve d'un problème. Cet exemple montre comment combiner des opérateurs flous de divers types à travers le problème "confirmer l'appartenance d'une personne à un groupe".

Une solution qui n'utiliserait que les opérateurs représentables par des paraboloïdes hyperboliques serait:. Les trois méthodes exposées ci-dessus convergent lorsque les valeurs d'entrée sont booléennes:.

Pour l'exemple à l'orchidée ci-dessus, une situation normale est que la connaissance des orchidées implique l'appartenance au groupe. De même qu'on a vu ci-dessus plusieurs manières d'implémenter les opérateurs OR et AND, il y a aussi plusieurs manières d'implémenter la notion d'implication.

Une application informatique qui viserait à proposer à un opérateur humain de traiter les cas anormaux en commençant par les plus suspects utiliserait les valeurs indiquées ci-dessus en gras et obtenues par la méthode identifiée Hyperbolic Paraboloid , particulièrement discriminante.

Il n'est pas sûr que cette application intéresse les amis des fleurs. Par contre, l'intérêt pour un service de médecine préventive ou même pour un fleuriste est compréhensible. Lorsque le nombre d'examens des cas suspects doit être plafonné par exemple pour des raisons de temps, de coût, de dangerosité, etc , un pré-classement intelligent , fondé -sinon sur une théorie incontestée- du moins sur une technologie opérationnelle, peut s'avérer utile.

Fuzzy operator fournit de nombreuses représentations graphiques de quelques implémentations possibles des opérateurs fuzzy. On trouvera ci-dessous, à titre d'exemple, la représentation de huit implémentations différentes d'une opération qui viserait à apprécier la simultanéité de deux faits jugés de poids équivalents dans les six images à gauche mais de poids différents dans les deux images de droite.

Une telle règle est appelée commande floue. Elle est composée de deux parties:. Il existe plusieurs techniques pour déterminer la valeur de la sortie dans l'exemple: Il existe une opinion qui dit que [évasif] "La théorie des ensembles flous présente la particularité de n'avoir aucun théorème à proposer. C'est-à-dire que si elle peut rendre quelques services techniques, elle ne peut pour autant prétendre à un quelconque statut de science, et encore moins de théorie.

En fait, la logique floue a été formalisée [ réf. Dans son ouvrage "Décisions rationnelles dans l'incertain", Myron Tribus rappelle que théorème de Cox-Jaynes montre d'une part que l'on peut représenter un état de connaissance incertaine par une probabilité, et d'autre part que tout moyen utilisé pour prendre des décisions sera soit isomorphe à la théorie des probabilités, soit incohérent".

Les connaissances floues ne sont pas à proprement parler des connaissances incertaines: Néanmoins, ce qui est flou est de savoir s'il sera considéré comme "grand" ou "petit". A contrario , dire "l'âge de cette personne est voisin de 30 ans" représente une estimation floue de l'âge effectif de la personne, qui est pour sa part très précis.

L'imprécision concerne l'estimation elle-même et non l'âge réel. On pourrait dire aussi: Jim Bezdek distingue pour sa part probabilité et imprécision: Sur la bouteille A, une étiquette annonce "potable avec un degré 0. Laquelle de ces 2 bouteilles doit-on choisir? Une théorie des possibilités a été introduite aussi par Lotfi Zadeh en afin de permettre la prise en compte combinée à la fois de l'imprécision et de l'incertitude dans des connaissances. La logique modale a été introduite par Aristote , puis continuée par Leibniz et des chercheurs contemporains pour prendre en compte des affaiblissements ou des renforcements d'affirmations présents dans les langues naturelles, en s'intéressant par exemple aux rapports du vrai, du faux, du nécessaire et du possible.

La théorie de la complexité algorithmique ou complexité de Kolmogorov est aussi une méthode plus ou moins rigoureuse pour envisager la difficulté de donner la description précise d'une chose X peut apparaître plus complexe que Y pour une machine A et moins complexe que Y pour une machine B, par exemple un calculateur quantique.

Il s'agit donc d'une complexité relative à une machine de référence donnée. Enfin, les probabilités bayésiennes utilisés en avenir incertain utilisent des approches voisines de celles de la logique floue, mais cette fois-ci sans aucun arbitraire: Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

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Comment ajouter mes sources? L'idée sous-jacente est que plus les propositions en prémisse sont vérifiées, plus l'action préconisée pour les sorties doit être respectée.

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